线性代数笔记

 
            

线性代数笔记记录-1

1.成绩组成

2.二阶行列式

2.1组成

$$ 二阶行列式，即：D = \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} $$ $$ 其中a_{ij}(i=1,2;j=1,2)称为元素\\ i为行标，表明元素位于第i行；\\ j为列标，表明元素位于第j列。 $$

2.2性质

$$ \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| =\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \end{array}\right| $$

$$ \left|\begin{array}{cccc} ka_{11} & a_{12} \\ ka_{21} & a_{22} \end{array}\right| =\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & ka_{21} \\ a_{12} & ka_{22} \end{array}\right| =k\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \end{array}\right| $$

$$ \left|\begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12} \\ a_{12}+b_{21} & a_{22} \end{array}\right| =\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| +\left|\begin{array}{cccc} b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22} \end{array}\right| $$

$$ \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=- \left|\begin{array}{cccc} a_{12} & a_{11} \\ a_{22} & a_{21} \end{array}\right|, \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=- \left|\begin{array}{cccc} a_{21} & a_{22} \\ a_{11} & a_{12} \end{array}\right| $$

3.三阶行列式

3.1组成

$$ \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{21} \\ a_{31} & a_{32} & a_{31} \end{array}\right| 称为三阶行列式 $$

3.2计算

$$ \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{21} \\ a_{31} & a_{32} & a_{31} \end{array}\right| = \\ a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-\\ a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} $$

https://gitee.com/Brief-rf/BlogImages/raw/master/img/image-20200902215533737.png

https://gitee.com/Brief-rf/BlogImages/raw/master/img/image-20200902215734402.png

4.n阶行列式

4.1定义：

$$ 用 n^2 个元素a_{ij} (i, j=1, 2, …, n)组成的记号 $$

$$ \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & … & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{13} \\ … & … & … & … \\ a_{31} & a_{32} & … & a_{13} \end{array}\right|元素a_{ij}，i为行标，j为列标 $$

称为n阶行列式

4.2（代数）余子式

$$ 在n 阶行列式中，把元素a_{ij}所在的第i行和第j列划后，\\ 留下来的n－1阶行列式叫做元素 a_{ij}的余子式，记作M_{ij}.\\ 把A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}称为元素a_{ij}的代数余子式 $$

https://gitee.com/Brief-rf/BlogImages/raw/master/img/image-20200902221152753.png

注意
注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式|-1| = -1

4.3性质

  1. 行列式与它的转置行列式相等
  2. 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
  3. 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ，等于用数 乘以此行列式.
  4. 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
  5. 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则行列式可以拆分为两个行列式的和
  6. 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
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